Le nombre premier le plus long du monde découvert

Cet objet mathématique est composé de plus de 17 millions de chiffres et remplirait près de 20 livres de 500 pages environ.

La plupart des nombres entiers peuvent se décomposer en un produit de nombres entiers strictement supérieurs à 1: 4 (2x2), 6 (3x2), 8 (4x2), 9 (3x3), 10 (5x2), etc. Ce n'est pas le cas des nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, etc). La recherche de ces objets particuliers, sorte de briques élémentaires de l'arithmétique, est aussi vieille que les mathématiques. Leurs propriétés sont aujourd'hui utilisées en cryptographie, notamment pour sécuriser vos échanges sur Internet. Si l'on sait depuis Euclide qu'il en existe une infinité, la découverte d'un nouveau nombre premier reste un événement tant ils sont difficiles à débusquer.
Un chercheur américain de l'université du Missouri, Curtis Cooper, rapporte justement la découverte du plus grand nombre premier jamais identifié. La «bête» fait plus de 17 millions de chiffres, 17.425.170 précisément. Cela correspond à un fichier texte de 22Mo, consultable ici. Comptez environ 4000 feuilles A4 si vous souhaitez l'imprimer avec une taille de police classique. Il est impossible d'appréhender ce que représente un tel nombre. À titre de comparaison, il faut moins de cent chiffres pour effectuer le décompte du nombre de particules (neutrons, protons et électrons) contenues dans tout l'univers!

250.000$ pour un nombre premier à 1 milliard de chiffres

Mais comment Curtis Cooper et son équipe ont-ils pu mettre la main sur un nombre aussi incroyable? Ils ont utilisé une technique bien connue consistant à étudier les «nombres de Mersenne». Le moine et mathématicien français, Marin Mersenne, né à la fin du XVIe siècle est en effet le premier à avoir regardé de manière systématique les nombres obtenus en multipliant 2 par lui-même pendant un nombre premier de fois avant de retrancher 1 au résultat (en notation mathématique: «2 ^{^p 1} - 1» où p est un nombre premier). Il a remarqué que ce calcul donnait régulièrement un nombre premier.
Le projet collaboratif GIMPS, lancé en 1996, s'est proposé de les étudier de façon systématique. N'importe quel particulier peut utiliser le logiciel fourni pour tester la «primalité» d'un nombre de Mersenne. Curtis Cooper et son université sont les plus importants collaborateurs de ce programme. Ils ont d'ailleurs déjà à leur actif les deux records de longueurs établis en 2005 et en 2006. Ils avaient toutefois été détrônés en 2008 par l'université de Californie (UCLA) et un premier long d'un peu moins de 13 millions de chiffres. Quatre ans plus tard, le professeur de mathématiques peut se réjouir de faire voler en éclats ce record.
Il aura fallu 39 jours à son ordinateur pour vérifier la primalité du petit nouveau, 2 ^57885161 - 1, le 25 janvier 2013. Trois preuves indépendantes réalisées par des chercheurs différents, sur des machines différentes, avec des algorithmes différents, ont permis de s'assurer qu'il ne s'agissait pas d'un «faux positif». La fondation GIMPS a ainsi pu annoncer officiellement cette semaine la découverte du 48e nombre premier connu de Mersenne, le 15e débusqué depuis 1996. Ce résultat a valu à son découvreur et à son institution un prix de 3000$ versé par GIMPS. Celui qui découvrira le premier nombre premier à plus de 100 millions de chiffres touchera, lui, le jackpot: il pourra partager avec les fondateurs de GIMPS la récompense de 150.000$ promise par l'Electronic Frontier Foundation. Un prix de 250.000$ est aussi prévu pour le franchissement de la barrière du milliard de chiffres.